篇一：常用逻辑用语
学生教案
常用逻辑用语
知识点一：命题
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等. （2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题 （3）命题“① 若要判断命题“
”的真假判定方式：
”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气
一定推出.
词“一定”能帮助判断。如：② 若要判断命题“ 注意：“
”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：
①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）：
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①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”.③“非p”与p的真假相反.注意：
（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立
且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或
”.
（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p或q”的否定是“
p且
q”； “p且q” 的否定是“
p或
q”.
（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论.
知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用的形式为：
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若
p则
q； 逆否命题：若
q则
p.
p和
q分别表示p和q的否定，则四种命题
2. 四种命题的关系
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①原命题 ②逆命题依据和途径.
逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. 否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定.
知识点三：充分条件与必要条件
1. 定义：
对于“若p则q”形式的命题：
从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件p与结论q之间的关系． ①若p②若p
q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； q，但q
p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
③若q?p且p??q，则p是q成立的必要不充分条件；④若既有p
q，又有q
p，记作p
q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）；
⑤若p??q且q??p，则p是q成立的既不充分也不必要条件．
从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p、q相应的集合关系．
建立与p、q相应的集合，即p:A?xp?x?成立若A?B，则p是q的充分条件，若
A若B?A，则p是q的必要条件，若
B若A?B，则p是q成立的充要条件；
若A??B且B??A，则p是q成立的既不充分也不必要条件． 2. 理解：
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，
再用结论 推条件，最后进行判断.
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?
?，q:B??xq?x?成立?．
B，则p是q成立的充分不必要条件； A，则p是q成立的必要不充分条件；
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”、“有且仅有”、 “必须且只须”.“等价于”“?反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与
；
与
；
与
的等价关系，对于
条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法. （3）利用集合间的包含关系判断，比如A
B
A，即A
B.
B可判断为A
B；A=B可判断为A
B，且
如图：“要条件.“
”
“
”
是
的充分必要条件.
”
“
，且
”
是
的充分不必
知识点四：全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“
”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全
”，其中
称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,
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“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“
”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定 （1）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p：
，他的否定
：
全称命题的否定是特称命题。
（2）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一
次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）. （2）一些常见的词的否定：
，他的否定
：
特称命题的否定是全称命题。
总结
1. 判断复合命题的真假的步骤： ①确定复合命题的构成形式；
②判断其中简单命题p和q的真假；
③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“
或
”是“或”的关系，否定时要注意.
类型一：四种命题及其关系
1. 写出命题“已知题，并判断其真假。解析：逆命题：已知否命题：已知逆否命题：已知
是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题； 是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。
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是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命
篇二：常用逻辑用语知识点
精解常用逻辑用语
目标认知：
考试大纲要求：
1. 理解命题的概念；了解 逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2. 了解命题“若p,则q”的形式 及其逆命题、否命题与逆否命题，分析 四种命题相互关系.3. 理解 必要条件、充分条件与充要条件 的意义.
4. 理解 全称量词与 存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
重点：难点：
充分条件与必要条件的判定
根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理 ：知识点一：命题：
1. 定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.
（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理
等都是真 命题 （3）命题“
”的真假判定方式：
”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”一定推出.
”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.
① 若要判断命题“能帮助判断。如：② 若要判断命题“注意：“
不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. （2）复合命题的构成形式：
①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）. （3
）复合命题的真假判断（利用真值表）：
真 真 假 假
真 假 真 假
非 假 假 真 真
1
真 真 真 假
真 假 假 假
①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。③“非p”与p的真假相反.注意：
（1）逻辑 连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立
且q不成立， 二是p不成立但q成立 ，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p或q”的否定是“
p且
q”； “p且q” 的否定是“
p或
q”.
或
”.
（3） 对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。
典型例题
1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。 （1）矩形难道不是平行四边形吗？
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：x?R，方程x?x?1?0无实根. （4）x?5
（5）人类在2020年登上火星
.
2（江西卷）下列命题是真命题的为（ ）
2
11?
x?y
A．若xy,则
C．若
B．若x?1,则x?1
2
x?y,
?D．若x?y,则 x2?
y2
p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，
p?q C．(?p)?(?q)D．(?p)?(?
q)
3(广东)已知命题
则下列命题中为真命题的是（ ） A．(?p)?q 4（北京）若（A） (C)
B．
p是真命题，q是假命题，则（ ）
p?q是真命题 (B)p?q是假命题
?p是真命题(D)?q是真命题
知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
p和
2
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用
q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若
p则
q； 逆否命题：若
q则
p.
2. 四种命题的关系：
①原命题 ②逆命题
逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.
四种命题及其关系：
关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述： 第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题； 第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；
第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；
2
5．写出“若x?2或x?3，则x?5x?6?0”的逆命题、否命题、逆否命题及
命题的否定，并判其真假。
2
解: 逆命题：若x?5x?6?0，则x?2或x?3，是真命题； 2
否命题：若x?2且x?3，则x?5x?6?0，是真命题； 2
逆否命题：若x?5x?6?0，则x?2且x?3，是真命题。 2
命题的否定：若x?2或x?3，则x?5x?6?0，是假命题。
知识点三：充分条件与必要条件：
1. 定义：
对于“若p则q”形式的命题：①若p ②若p
q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； q，但q
p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
p，记作p
q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
③若既有p2. 理解认知：
q，又有q
（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，
3
再用结论 推条件，最后进行判断.
（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”. “必须且只须”.“等价于”“?反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与
；
与
；
与
的等价关系，对于
条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断，比如A
B
A，即A
B.
B可判断为A
B；A=B可判断为A
B，且
如图：“ “
”
”
“
“
，且
”
是
”
是
的充分不必要条件.
的充分必要条件.
6（2011安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ） （A）p: a?c＞b+d , q: a＞b且c＞d
x
f(x)?a?b(a?0，且a?1)的图像不过第二象限 （B）p: a＞1,b>1q:
（C）p: x=1,q: x?x （D）p: a＞1, q:
2
f(x)?logax(a?0，且a?1)在(0,??)上为增函数
7（2011全国大纲）使a?b成立的充分而不必要的条件是（ ）
2233
（A）a＞b?1（B）a＞b?1（C）a＞b（D）a＞
b
8（2011福建）．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
9（2012江西）“
D．既不充分又不必要条件
”是“
x?y
x?y”的（ ）
4
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
知识点四：全称量词与存在量词：
1. 全称量词与存在量词：
全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“
”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，
”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
有p(x)成立”可表示为“
（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有 存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示 为“
2. 对含有一个量词的命题进行否定：
”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.
（I）对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p：
，他的否定
：
全称命题的否定是特称命题。
（II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一
次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。 （2
，他的否定
：
特称命题的否定是全称命题。
规律方法指导：
1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真假性一致.
2. 要注意区分命题的否定与否命题.
3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二 者相互对照可加深认识和理解.
4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分 性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命 题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件. 5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。总结升华：
5
篇三：13常用逻辑用语
常用逻辑用语
一、基本概念
（一）命题及其关系：
阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？
（1）矩形的对角线相等；T （2）3?12；F
（3）3?12吗？ N（4）8是24的约数；T （5）两条直线相交，有且只有一个交点； T （6）他是个高个子.N （7）x>2 N
1.命题：可以判断真假的陈述句叫做命题. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否
符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述7个语句中，（1）（2）（4）（5）是命题.（3）是疑问句，（7）是开语句（6）无法判断 2.真命题：判断为真的语句叫做真命题； 3.假命题：判断为假的语句叫做假命题.
上述5个命题中，（2）是假命题，其它3个都是真命题.
常见误区：
误区1 一个陈述句是命题，祈使句也是命题，而疑问句就不是命题．(对顶角难道不相等吗?)
2
误区2 所有的不等式都不是命题．(x+1≥0) 4.将一个命题改写成“若p，则q”的形式：
一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 练习：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等 5.四种命题的概念：
（1）原命题：若p，则q；
（2）互换条件和结论得逆命题：若q，则p；
（3）条件的否定做条件，结论的否定做结论得否命题：若?p，则?q； （4）条件的否定做结论，结论的否定做条件得逆否命题：若?q，则?p
（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数； （3）能被5整除的数末位是0；（4）?是有理数. 四种命题的相互关系图：
结论一：原命题与它的逆否命题同真假；
结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
（二）充分条件与必要条件：
写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若ab?0，则a?0；
（2）若a?0时，则函数y?ax?b的值随x的值的增加而增加.
1. 认识“?”与“”：
在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“ab?0”a?0；而命题（2）中由“a?0”可以得到“函数y?ax?b的不能得到“a?0”，即ab
?0
值随x的值的增加而增加”，即a?0?函数y?ax?b的值随x的值的增加而增加. 2.充分条件和必要条件：
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
上述命题（2）中“a?0”是“函数y?ax?b的值随x的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y?ax?b的值随x的值的增加而增加”则是“a?0”的必要条件. 理解：充分：有它就行；必要：没它不行（逆否命题角度理解） 3.充要条件
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（也说p,q等价）
4.几种条件总结： （1）图表法
A则BA是B的充分条件 →A是B的充分不必要条件
A是B的若B则A
充要条件←─—→A是的B既不充分也不必要条件 A则B→A是B的必要不充分条件
B则AA是B的必要条件
（2）用集合的观点研究充分、必要条件
当ｐ、ｑ分别以集合A、B出现时：
若A?B但B不包含于A，即A 是B的真子集，则ｐ是ｑ的充分而不必要条件 若A?B 但A 不包含于B， 即B是A的真子集，则ｐ是ｑ的必要而不充分条件 若A?B且B?A ，即A=B ， 则ｐ是ｑ的充要条件 若A不包含于B，且B不包含于A ，则ｐ是ｑ的既不充分也不必要条件 注意问题考察时的等价转化 （三）简单的逻辑联结词： 命题是怎样分类的?
根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题。单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。如“3是正数”就是单称命题。全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何”,“都”等，也常被省略。如“整数是有理数”的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数”。特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的”，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。
根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。性质命题的判断词常用“是”，“不是”；用来判断主项是否符合某项性质。例如“3是正数”就是性质命题。关系命题的判断词常用“有”，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在”，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。在语义明确的情况下判断词常被省略。例如 “存在角A，使sinA=0” 就是关系命题
根据命题的结构，命题可分为简单命题和复合命题。不含逻辑联结词的命题叫简单命题。前面举例的命题都是简单命题。含逻辑联结词（“或”，“且”，“非”）的命题叫复合命题。例如“3>2或3=2”,“3是正数，且3是奇数”，“3不是无理数”分别是“或命题”，“且命题”，“非命题”。它们都是复合命题。
且：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p?q，读
作“p且q”.
或：般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p?q，读作“p或q”.
非：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作?p，读作“非p”或“p的否
定. 练习：
1.将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假： （1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等； T （2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；F
（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边.T 2. 判断下列命题的真假：
（1）3?4或3?4； T （2）方程x2?3x?4?0的判别式大于或等于0；T （3）10或15是5的倍数；T （4）集合A是A?B的子集或是A?B的子集；T （5）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.F 3. 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1）p：y?tanx是周期函数；F （2）p：3?2；T
（3）p：空集是集合A的子集； F （4）p：若a2?b2?0，则a,b全为0；T （5）p：若a,b都是偶数，则a?b是偶数. F
由真值表可知： 同假为假同真为真真值相反 常见误区：
误区3 一个命题，只要含有逻辑连接词“或”“且”“非”的就一定是复合命题，否则就是简单命题．
判断下列命题是简单命题还是复合命题：
(1)1的平方根是l或-1；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形
误解 (1)中含有逻辑连接词“或”，所以是复合命题．(2)中含有逻辑连接词“且”，也是复合命题． 辨析若(1)是复合命题“P或Q”形式，则P为“1的平方根是1”，Q为“1的平方根是-1”，显然P，
Q都是假命题，由真值表知“P或Q”也是假命题；但命题(1)显然是真命题，不满足真值表．所以命题(1)是简单命题． 若(2)是复合命题“P且Q”形式，则P为“对角线相等的四边形是矩形”，Q为“对角线互相平分的四边形是矩形”，显然，P，Q都是假命题，由真值表知“P且Q”也是假命题；但命题(2)显然是真命题，不满足真值表．所以命题(2)是简单命题．
含有逻辑连接词“或” “且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．
误区4解集类命题的否定形式就是原解集的补集．
命题：不等式x2-3x+2≥O的解集是{x|1≤x≤2}．写出命题的否定形式． 误解 该命题的否定形式为：不等式x2-3x+2≥O的解集是{x|<1或x>2}
辨析 “否定”与“互补”相混淆，A不是B，不能认为A就是除B以外的所有对象,而应认为A是除
B以外的某一个对象或某一部分对象．所以本命题的否定形式应为：不等式x2-3x+2≥O的解集不是{x| 1≤x≤2}．
误区5 写命题P的否定形式，一概在关键词前加“不”即可． 命题：等腰三角形是直角三角形．写出命题的否定形式． 误解 该命题的否定形式为：等腰三角形不是直角三角形．
辨析 这个命题虽然没有明显的关键词“所有”，但我们从语意上分析，它所研究的对象不是一个
个体，而是所有的等腰三角形,它是一个全称命题，它的完整形式应该是“所有的等腰三角形都是直角三角形”．所以它的否定形式应该是“有的等腰三角形不是直角三角形”．如果将原命题改为:“等腰△ABC是直角三角形”，显然它所研究的对象仅是一个个体，那么它的否定形式就可以写成“△ABC不是直角三角形"． （四）全称量词与存在量词： 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：? 全称命题：含有全称量词的命题.符号：?x?M,p?x?
例如：对任意的n?Z，2n?1是奇数；所有的正方形都是矩形都是全称命题. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：? 特称命题：含有存在量词的命题.符号：?x0?M,p?x0? 例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.
全称命题P：?x?M,p?x?，它的否定?P：?x0?M,?p?x0?； 特称命题P:?x0?M,P?x0?，它的否定?P:?x?M,?P?x?.
练习：写出下列命题的否定，并判断其真假
（1）每一个素数都是奇数； （2）某些平行四边形是菱形；
2
（3）p:?x?R,x?x?
1
?0；（4）r:?x?R,x2?2x?2?0 4
1
?0，假命题（4）?r:?x?R,x2?2x?2?0，真命题。 4
（1）存在一个素数不是奇数，真命题。（2）每一个平行四边形都不是菱形，假命题。 （3）?p:?x?R,x?x?
2
二、习题精练
(一)逻辑联结词与复合命题真假的判断
1.判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；T
（2）若整数a是素数，则a是奇数；F （3）2小于或等于2；T
（4）对数函数是增函数吗？N （5）2x?15；N
（6）平面内不相交的两条直线一定平行；T 2.判断下列命题的真假
（1）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；T （2）每一条线段的长度都能用正有理数表示；F （3）存在一个实数，使等式x?x?8?0成立。F 3.下列语句是不是全称命题或者是特称命题 （1）有一个实数a，a不能取对数；特 （2）所有的不等式的解集A，都有A?R；全 （3）有的向量方向不定；特
（4）正弦函数都是周期函数吗？不是命题
4.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
2
（1）p:对任意的x?R，x?x?1?0都成立；
2
（2）p:?x?R，x?2x?5?0．
（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在
2
一个”，因此，?p:存在一个x?R，使x?x?1?0成立，即?x?R，使x?x?1?0成立；
2
2
（2）由于“?x?R”表示存在实数中的一个x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特
称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，?p:对任意一个x都有
x2?2x?5≤0，即?x?R，x2?2x?5≤0．
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