2019版八下数学第一章三角形的证明测试题（含解析） 本文简介：
2019版八下数学第一章三角形的证明测试题（含解析）三角形的证明 1.等腰三角形的性质与判定的应用(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M.?(1)求证：∠FMC=∠F
2019版八下数学第一章三角形的证明测试题（含解析） 本文内容：
2019版八下数学第一章三角形的证明测试题（含解析）
三角形的证明
1.等腰三角形的性质与判定的应用
(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等
【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M.
?
(1)求证：∠FMC=∠FCM.
(2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤.
【信息解读?破译解题秘钥】
信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余；
信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形；
信息③直译为：AF=EF；
破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF.
破译：整合条件①②③，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM.
信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”.
信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”.
破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC.
【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF.
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF.
又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF.
∴∠FMC=∠FCM.
(2)AD⊥MC.
理由如下：如图，延长AD交MC于点G.
由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC.
∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC.
(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.
【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.
?
【标准解答】∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠C=∠E，
∵∠E=∠B.∴∠C=∠B，∴AB=AC.
(3)等边三角形的性质与判定
等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是60°的角.
【例3】如图，点E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点①，且BE=AF②，CE，BF交于点P.
?
(1)求证：CE=BF.
(2)求∠BPC的度数.
【信息解读?破译解题秘钥】
条件①翻译为：AB=BC③=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°④；
条件②直译为：BE=AF⑤，
破译：整合条件①④，得到∠FAB=∠EBC⑥，
破译：整合条件②③⑥，应用“SAS”定理，判定△BCE≌△ABF⑦.
信息⑦翻译为：CE=BF，∠PCB=∠ABF⑧；
破译：读图、析图得，∠PBC+∠ABF=60°⑨，
∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°⑩，
破译：整合信息⑧⑨得∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=60
，
破译：整合信息⑩?得到：
∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-60°=120°.
【标准解答】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
在△BCE与△ABF中，
?
∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF.
(2)由(1)知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°.
?
1.在等边△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转
60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是( )
?
A.AE∥BC
B.∠ADE=∠BDC
C.△BDE是等边三角形
D.△ADE的周长是9
2.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，点D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE，求证：MD=ME.
? 2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论.
(1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.
【例1】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为( )
A.55°，55°
??
???
?B.70°，40°
C.55°，55°或70°，40°??
???
?D.以上都不对
【标准解答】选C.70°角可能是顶角，也可能是底角.当70°角是底角时，则顶角的度数为180°-70°×2=40°；
当70°角是顶角时，则底角的度数为(180°-70°)÷2=55°.所以这个等腰三角形的另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°.
(2)已知等腰三角形的两边求周长：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
【例2】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )
A.9
cm??
???
???
???
???
?B.12
cm
C.15
cm或12
cm??
???
?D.15
cm
【标准解答】选D.当6为腰，3为底时，6-3<6<6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形.
(3)已知等腰三角形的中线分周长成两部分，求一边长
【例3】在等腰
△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A.7??
???
???
???
???
?B.11
C.7或11??
???
???
???
?D.7或10
【标准解答】选C.已知条件并没有指明哪一部分是15，哪一部分是12，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是x，底边长为y，可得
或
解得
或
∴底边长为7或11.
(4)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，求顶角.
【例4】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，求这个等腰三角形的顶角的度数.
【标准解答】依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为50°，图2中顶角为130°.
?
(5)已知等腰三角形腰的中垂线与另一腰所在直线所成的夹角，求底角.
【例5】在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为
50°，则底角
∠B=________.
【标准解答】按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.
如图1，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以
∠B=∠C=
(180°-40°)=70°.
如图2，当交点在腰CA的延长线上时，△ABC为钝角三角形，此时可求得
∠BAC=140°，所以∠B=∠C=
(180°-140°)=20°.
??
故这个等腰三角形的底角为70°或20°.
2019版八下数学第一章三角形的证明测试题（含解析） 本文关键词：角形，测试题，解析，证明，数学
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