篇一：折纸与数学
数学与折纸
一个正方形变形为一个盒子。
一个正方形变形为一只鸟。
一个正方形变形为一条蛇。
一个正方形变形为一头象。
??除非你有先见之明，否则你准会以为我们将要谈些有关拓扑
（注：拓扑学是一种特殊类型的几何，它研究物体在伸张或收缩的变形中保
持不变的性质。不同于欧几里得几何，拓扑学不与大小、形状以及刚性图形
打交道。这就是为什么拓扑学被说成是橡皮膜上的几何的原因。想象物体存
在于一个能够伸张和收缩的橡皮膜上，在这样变形的过程中，人们研究那些
保持不变的性质）或魔术表演之类的话题了。
折纸是一种艺术形式，其历史可追溯到公元583年。当佛教的和尚从中
国经过朝鲜东渡去日本时，带去了许多纸。由于当时纸张是很昂贵的，所以
人们用时格外小心，而折纸就成了一些礼仪的完整的一部分。折纸的艺术就
是从那时起一代代传了下来。
动物、花、船和人都是折纸的创作题材。（折纸一词是源于"折的""游戏
"。）几个世纪来，人们对折纸的热情有增无减。事实上，今天在英国、比利
时、法国、意大利、日本、荷兰、新西兰、秘鲁、西班牙和美国（注：美国
折纸中心联谊会位于纽约西第77街15号，NY10024。英国折纸协会位于斯托
克波特（英格兰西北部城市--译者）柴郡，桑恩路12号，SK71HQ）等国家内
都有国际折纸协会的区域机构。
在创作折纸图形时，折纸能手是由一张正方形的纸开始的，然后运用他
们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。
一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，因为与矩形和其他四边形
相比，它有四条对称轴；而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但它们
又缺少正方形所拥有的直角，这就使制作上造成了较大的困难。有时人们也
用其他的纸张作为折纸的开始，但纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水
和剪刀的。
折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，揭示出大量几何
的对象和性质。
右图所示的折痕是在折一只飞鸟时在正方形纸张上留下的。
在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念：相似、轴对称、心对称、
全等、相似比、比例、以及类似于几何分形结构的迭代（在图案内不断地重
复图案）。
研究折纸的创作过程是极具启发性的。人们开始用一个正方形（二维物
体）的纸张来折一个形体（三维物体）。如果折出了新的东西，那么折纸的
人就把这个形体摊开，并研究留在正方形纸上的折痕。这个过程包含了维数的变动。折痕表示物体在扁平面（即正方体）上的二维投影。而一个二维物 相关文章 ·为何金属元素中只有水银在常温下呈液态？ ·首次发现两元素准晶体 ·码与密码 ·“非平衡态的引透”之谜 ·数学与折纸 ·氚：为何至关重要 ·泄露真情的闪光 ·怎样才能探测引力波 ·惰性最强的元素 ·音阶--数学对于耳朵 ·吃水果能代替吃蔬菜吗？ ·油罐车的尾巴 ·喝水的学问 ·阿基米德“死光”之谜 ·用葱汁写密信 ·把空气浮起来 ·漂白水中畅泳 ·无底洞里的旅行家 ·室内环境警示 ·世界各地的怪坡
体到三维物体，又回到二维，这就跟投影几何的领域发生了关系。
《折叠天地》一书的作者P·恩格尔是一位折纸的科学和艺术专家。在他
长年的折纸生涯中，有着许多珍贵的发现和创造，恩格尔使折纸达到了一个更高的境界。他强调了在折纸、数学和自然之间强有力的联系，而描画这种
联系则类似于极小值问题、分形和混沌理论。 折纸的创作始于有限数量的材料（如一张固定大小的正方形纸）并演进为希望的样式。这里并无任何限制，也不像肥皂泡那样受现实空间的制约。
折纸经历了一场复兴。从早期的折纸发展到今天经历了漫长的道路。今
天，专家们用纸折出了复杂的样式确实令人叹为观止。他们不用胶水、不用剪刀，巧妙地变形纸张，而且熟练的程度简直令人难以置信！最终完成的作
品远非简单的盒子或花朵，而是造形逼真的动物，栩栩如生的纸的雕塑！诸
如乌贼、蜘蛛、蛇、舞女、家具等等。这些创造性的成就，无疑来自长年的工作、丰富的经验和深刻的研究，就像艺术家M·C·埃舍尔献身于镶嵌艺术
的发展那样。
数学寓于折纸之中，不管折纸人的身份如何，对数学的了解总然会在折
纸中增加人们的能力和创造力。
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