江苏省盐城市2020届高三数学一轮复习学案第19讲正弦定理与解三角形（无答案） 本文简介：
盐城市2020届高三数学一轮复习导学案第19讲正弦定理与解三角形【课堂引入】1、正弦定理的内容分别是什么？公式的变形形式有哪些？2、正弦定理在已知三角形的哪些元素时使用？【问题导学】一、考纲导读：掌握正弦定理，并能用正弦定理和三角公式解斜三角形.二、知识梳理1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明
江苏省盐城市2020届高三数学一轮复习学案第19讲正弦定理与解三角形（无答案） 本文内容：
盐城市2020届高三数学一轮复习导学案
第19讲
正弦定理与解三角形
【课堂引入】
1、正弦定理的内容分别是什么？公式的变形形式有哪些？
2、正弦定理在已知三角形的哪些元素时使用？
【问题导学】
一、考纲导读：掌握正弦定理，并能用正弦定理和三角公式解斜三角形.
二、知识梳理
1.
利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.
正弦定理:
(其中R为△ABC的外接圆的半径,下同).
?
变形:(1)
a=2Rsin
A,b=
,c=
;?(2)
sin
A=
,sin
B=
,sin
C=
;?
(3)
a∶b∶c= ;?(4)
asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC(等比性质).
2.
利用正弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题:
(1)
已知两角与任一边,求其他两边和一角;
(2)
已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).
对于“已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型,可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.
如:已知a,b和A,用正弦定理求B时解的情况如下:
①若A为锐角,则a<bsinA,
解;a=bsinA,
解;bsinA<a<b,
解;a≥b,
解.
a<bsin
A 无解
a=bsin
A 一解
bsin
A<a<b 两解
a≥b 一解
②若A为直角或钝角,则a≤b,
解;a>b,
解.
a≤b 无解 a>b 一解
3.
由正弦定理,可得三角形面积公式:
S△ABC=12absin
C==
==.?
4.
三角形内角定理的变形:由A+B+C=π,知A=π-(B+C),可得出:sin
A=sin(B+C),cos
A=-cos(B+C).
而A2=π2-B+C2,有sinA2=cosB+C2,cosA2=sinB+C2.
三、回归课本
1.
设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2bsin
A,则B=
.?
2.
在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,那么AC=
.
?
3.
在△ABC中,若a=2,b=3,C=π6,则△ABC的面积为
.?
4.
在△ABC中,若a=43,c=4,C=30°,则A=
.?
5.
在△ABC中,若A=60°,a=3,则a+bsinA+sinB=
.?
四、考点研析
考点一 利用正弦定理判断三角形的形状
典例1
在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.变式
在△ABC中,若bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.考点二 利用正弦定理解三角形
典例2
在△ABC中,已知a+ba=sinBsinB-sinA,且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.(1)
求角B的大小;(2)
求a+cb的取值范围.变式1
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.
(1)
求角B的大小;(2)
求sinA+sinC的取值范围.变式2
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin
B＝，C＝，则b＝________.
考点三 利用正弦定理解三角形的面积问题
典例3
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bc=233,A+3C=π.
(1)
求cosC的值;(2)
若b=33,求△ABC的面积.变式
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sinB=3cosB.
(1)
若cosA=13,求sinC的值;(2)
若b=7,sinA=3sinC,求△ABC的面积.五、课堂练习
1.在△ABC中,已知a=23,b=2,A=60°,则B=
.?
2.
在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边分别为a,b.若2asinB=3b,则A=
.?
3.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为
.?
4.在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为33,则BC的长为
.?
5.
在斜三角形ABC中,已知tanA+tanB+tanAtanB=1.
(1)
求角C的大小;(2)
若A=15°,AB=2,求△ABC的周长.
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